Descobertas relativamente recentes apresentam uma solução geométrica engenhosa para promover o empacotamento dos epitélios, tecidos que recobrem as superfícies dos órgãos. São os chamados escutoides, estruturas tridimensionais que podem ser repetidas continuamente e encaixadas uma à outra, como um tipo de ‘Lego’, de forma a cobrir o espaço tridimensional de forma organizada e ‘bem comportada’ – isto é, sem sobreposições ou ‘furos’ (figura 1).

Essas descobertas ilustram o fato de que compreender e explorar a natureza de estruturas tridimensionais não é um tema isolado e exclusivo da matemática. Essa pesquisa demanda articulações com diferentes áreas do conhecimento.

Outra dessas áreas é a cristalografia, ciência que estuda a estrutura atômica e molecular de materiais sólidos cristalinos. Nela, o estudo do preenchimento ordenado e periódico do espaço tridimensional por átomos, íons ou moléculas tem papel fundamental no entendimento das estruturas cristalinas e propriedades dos materiais.

É muito provável que você já tenha visto um pedreiro assentar ladrilhos ou cerâmicas em chãos, paredes ou tetos – às vezes, produzindo mosaicos complexos e harmoniosos com essas peças. Em matemática, esse procedimento é denominado ladrilhamento no plano – tema muito comum e amplamente discutido nessa área do conhecimento.

As únicas formas que podem ser repetidas ilimitadamente – de modo a cobrir um plano, sem sobreposições ou ‘buracos’ – são três tipos de polígonos regulares: triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos.

Isso decorre do fato de que esses polígonos são os únicos cujos ângulos internos (respectivamente, 60º, 90º e 120º) são divisores de 360º. Pentágonos e octógonos também podem ser regulares – com ângulos internos medindo, respectivamente, 108º e 135º –, mas não se encaixam de forma a cobrir completamente (ou seja, ladrilhar) o plano (figura 2).

Há outras formas de ladrilhar um plano com padrões mais complexos do que a repetição de um único tipo de polígono regular. Esses padrões envolvem o uso de polígonos não regulares (figura 3) ou de composições de diferentes tipos de polígonos regulares (figura 3B) – exemplo deste último caso é o emprego de ‘quadradinhos’ para preencher o ‘buraco central’ deixado pela composição de octógonos (figura 2).

A determinação de polígonos não regulares que ladrilhem o plano pode levar a problemas matemáticos bem sofisticados. Embora esse tema seja explorado há muito tempo, só recentemente um grupo de matemáticos nos Estados Unidos descobriu um novo padrão de ladrilhamento com pentágonos não regulares (figura 3C), por exemplo.

Há também técnicas de ladrilhamento do plano com o uso de formas irregulares construídas a partir de polígonos regulares. O artista holandês M. C. Escher (1898-1972) se destacou por explorar brilhantemente essas técnicas.

Basicamente, a ideia é partir de figuras básicas e, fazendo recortes convenientes, gerar novas figuras que se encaixam – ajustadas por rotações, reflexões e translações. No campo artístico, esses ladrilhamentos podem, ainda, ser decorados com outros elementos – isso pode ser feito digitalmente ou, por exemplo, com o uso de post-it (figura 4).