Como é festa, façamos uma pequena reunião. Ao todo, seis pessoas. Claro que, se é uma festa, você imagina que todo mundo se conhece. Mas digamos que foram pessoas sorteadas ao acaso e que, portanto, podem ou não se conhecer. O que podemos dizer sobre o modo como essas pessoas se agrupam? Ou seja, será que podemos dizer que necessariamente há um grupo de quatro pessoas que conhecem umas às outras? Ou existe um grupo de quatro delas que não se conhecem? Quatro ou três? Quantas?
Comecemos do começo. Se duas pessoas, Ana e Bernardo, por exemplo, são amigas, isso quer dizer que Ana é amiga de Bernardo, e Bernardo é amigo de Ana. Muito bem. O que vamos mostrar é que, em qualquer grupo de seis pessoas, sempre existem três delas que: 1) se conhecem mutuamente ou 2) não se conhecem mutuamente.
Talvez seja difícil ver a complexidade do que queremos demonstrar. Faça o seguinte, então. Marque seis pontos em uma folha de papel (eles representarão as pessoas) e trace linhas entre cada dois pontos. Se as duas pessoas se conhecem, trace uma linha vermelha; caso elas não se conheçam, faça uma linha azul. O que queremos mostrar é que qualquer que seja o seu diagrama, sempre haverá um triângulo de uma mesma cor (ou azul, ou vermelho).
Antes de prosseguir, convença-se de que esse problema é o mesmo que o da festa!
Com esse diagrama em mãos, prossigamos. Pegue um ponto (pessoa) qualquer e o chame Ana. Dele partirão cinco linhas, uma para cada outro ponto. Dessas cinco linhas, algumas são azuis, por exemplo, e as restantes vermelhas. Aqui entra uma observação simples, mas poderosa: devemos necessariamente ter, pelo menos, três linhas da mesma cor! Por quê? Ora, se tivermos, no máximo, duas azuis e duas vermelhas, isso soma quatro. No entanto, temos cinco linhas ao todo. Suponha então que tenhamos, pelo menos, três linhas vermelhas. Isso significa que Ana está ligada por linhas vermelhas a outras três pessoas, que chamaremos (B)ernardo, (C)arolina e (D)aniela.
Vejamos o que podemos dizer sobre as linhas que unem B, C e D. Se dois deles se conhecem, então haverá uma linha vermelha ligando-os, e isso fecha um triângulo vermelho. Se os três não se conhecem mutuamente, então as linhas entre eles formarão um triângulo azul.
Em qualquer caso, acabamos de mostrar que sempre haverá um triângulo de uma mesma cor! Podemos então continuar nossa festa, e chamar mais pessoas…
Desafio:
Suponha que, em vez de duas cores, tenhamos três à nossa disposição. Mostre que, em uma festa de 17 pessoas, sempre haverá um triângulo com lados da mesma cor.
Marco Moriconi
Instituto de Física,
Universidade Federal Fluminense
