Como a regra básica de soma é ‘par + par → par’, ‘par + ímpar → ímpar’, ‘ímpar + par → ímpar’ e ‘ímpar + ímpar → par’, não faz diferença se você mostrou um, três, cinco, sete ou nove, por exemplo (às vezes, as crianças usam as duas mãos, em uma variação do jogo). O que importa é se o número é ímpar ou par. Assim, caso quisessem, os jogadores poderiam se contentar em usar apenas zero, que é par, e um, que é ímpar. Mas devo admitir que isso tiraria um pouco da graça do jogo.

Não parece que podemos extrair alguma coisa muito interessante do ‘par ou ímpar’. Mas essa é uma das belezas da matemática: poder fazer algo não trivial a partir de algo que parece muito simples. Nesse caso, a idéia é poder separar os números inteiros em dois grupos (pares e ímpares), e (aqui entra a lição do nosso jogo) o fato de que somar um a um número muda-o de grupo, ou seja, se for par, vira ímpar; se for ímpar, torna-se par. Simples, não? Sim, mas poderoso. Vejamos uma aplicação dessa idéia.

Sugestão de jogo para uma festa: pergunte a cada convidado quantas vezes ele apertou a mão de outra pessoa. Você notará o seguinte: o número de pessoas que apertaram mãos um número ímpar de vezes é sempre par! Como é possível? Por que cinco pessoas, por exemplo, não poderiam ter dado um número ímpar de apertos de mão? (alerta: a chance de você conseguir realizar essa enquete com sucesso é mínima, sem contar a alta probabilidade de você se tornar o ‘chato’ da festa).

O argumento é simples. Vamos associar a letra P a quem apertou mãos um número par de vezes, e a letra I a quem apertou um número ímpar. No início da festa, quando ninguém apertou a mão de ninguém, todo mundo é P. Quando começam os apertos, o cenário muda. Por exemplo, a primeira vez que você aperta a mão de alguém passa para I; na próxima, volta a ser P. E assim por diante.

Separemos os convidados em Ps e Is. Toda vez que dois membros do grupo P se cumprimentam, ambos passam para o grupo I (ou seja, o grupo I aumenta em dois membros). Quando dois Is apertam as mãos um do outro, esse grupo diminuiu em dois membros. E, quando um P aperta a mão de um I (ou vice-versa), eles trocam de grupo (com essa troca, o número de membros em cada grupo não se altera).

Portanto, podem acontecer três coisas no grupo dos Is: a) ele aumenta em dois membros; b) diminui em dois membros; c) fica inalterado. Mas, nesses três casos, a variação no número de membros foi um número par. Ou seja, se era par no início, será par sempre; se era ímpar no começo, será ímpar sempre. Mas, no início, antes de qualquer aperto de mão, o número de membros no grupo I é zero, que é um número par. Assim, o número de membros do grupo I será sempre par!

Comentário final: não se surpreenda se, depois de propor ou tentar realizar esse jogo em uma festa, você ficar sem seu ‘par’…

Desafio:
Um jogo com mais chance de fazer sucesso em uma festa. Peça à sua ‘vítima’ que tente colocar três copos com a boca para cima, começando com eles invertidos. Regra: segurar e inverter dois copos de cada vez. Será possível? Confira a resposta na coluna Qual o problema? de abril.

Marco Moriconi ( [email protected] )
Instituto de Física,
Universidade Federal Fluminense.