As duas revoluções de Joseph Fourier

Instituto de Física
Universidade Federal Fluminense

Matemático francês participou do movimento que derrubou a monarquia na França no século 18, era próximo de Napoleão e seu trabalho tornou possível a transmissão de sinais sonoros, visuais e em texto, essenciais em nosso cotidiano

CRÉDITO: COURTESY OF SMITHSONIAN LIBRARIES, WASHINGTON, D.C.

Inspiração em Newton e Pascal

Fourier era religioso e, aos 20 anos, estava entre ser cientista ou padre. Mesmo nessa idade e com esses questionamentos, tinha noção de que queria ter um impacto comparável a grandes físicos e matemáticos, como o inglês Isaac Newton (1643-1727) ou o francês Blaise Pascal (1623-1662), como fica evidente em uma carta dele: “Ontem completei 21 anos, nessa idade Newton e Pascal já tinham feito o suficiente para merecer a imortalidade”.

Uma virada na formação de Fourier ocorreu em 1793, quando começou a se interessar por questões sociais – imaginem o clima político na França nessa época! Decidiu se juntar ao comitê revolucionário, apesar de não simpatizar com o período do Terror (1792-1794, quando houve perseguições e execuções na guilhotina).

Suas habilidades como matemático e professor atraíram a atenção de amigos e inimigos, chegou a ser preso, correndo risco de ser guilhotinado. Mas com a morte do próprio Robespierre (1758-1794) pela guilhotina, foi libertado.

Suas habilidades como matemático e professor atraíram a atenção de amigos e inimigos, chegou a ser preso, correndo risco de ser guilhotinado

No final de 1794 Fourier se mudou para Paris para lecionar no Collège de France. Sua excelente relação com alunos e com grandes nomes da época, como Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813), Pierre Simon Laplace (1749 – 1827) e Gaspar Monge (1746 – 1818), e a mudança de clima político na época, o livrou da prisão por uma segunda vez.

Embarcado com Napoleão

Em 1798 Fourier e outros cientistas foram convocados por Napoleão Bonaparte para uma expedição ao Egito. Durante a viagem de ida, o grupo apresentava palestras diárias ao general, sobre todo tipo de assunto.

A expedição foi bem-sucedida cientificamente, mas, por outro lado, Napoleão subestimou o poder da armada inglesa que o perseguia e foi derrotado na Batalha do Nilo (1798). Bateu retirada, abandonando seus aliados no Egito.

De volta à França em 1801, Fourier retomou o trabalho na École Polytechnique e, no ano seguinte, voltou a servir Napoleão, como prefeito de Isère. Mas o matemático não estava tão readaptado à Europa assim: o fascínio pelo calor do Egito já havia se instalado e, mesmo durante o verão, ele mantinha seu quarto aquecido e ficava envolto em casacos.

As altas temperaturas tomaram conta até da sua produção científica. Fourier desenvolveu a equação que descreve a propagação de calor em um meio material, conhecida como “equação do calor”, um trabalho relevante além das considerações práticas, pois é um problema do mundo natural que ainda estava em aberto na época. Do ponto de vista científico, um avanço conceitual do trabalho foi tratar a matéria como algo contínuo e não como uma coleção de partículas, que era o paradigma vigente desde a formulação da mecânica clássica por Newton.

Fourier desenvolveu a equação que descreve a propagação de calor em um meio material, um trabalho relevante além das considerações práticas, pois é um problema do mundo natural que ainda estava em aberto na época

Um exemplo ajuda a entender o trabalho. Imagine que metade de um anel de metal foi aquecida em um forno. Em seguida, o retiramos do forno e analisamos como varia a temperatura em cada ponto do anel. Ao resolver a equação do calor nesse caso, Fourier desenvolveu um método matemático surpreendente: percebeu que era possível escrever a expressão matemática da solução da equação do calor como uma soma de expressões muito simples, envolvendo funções trigonométricas – os bons “senos e cossenos” que estudamos na escola. Se você não lembra exatamente o que são, não se preocupe, basta pensar em uma forma de onda, de um sinal que oscila no tempo. No caso de ondas sonoras é o som produzido por um diapasão, uma frequência pura. Fourier mostrou que o calor que se espalha pelo anel pode ser decomposto nessas ondas periódicas. Como se houvesse um “diapasão do calor”.

Como toda grande ideia, sua aplicação vai além de onde ela surgiu. Para ondas sonoras qualquer som produzido, seja de um piano, voz humana ou barulho de uma porta fechando, pode ser descrito como uma soma (superposição) de sons puros!

Essa ideia, a de que um sinal qualquer pode ser expresso em termos de uma soma de funções oscilatórias simples, revolucionou o pensamento matemático, mas não foi tão fácil aceitá-la, pois há diversos problemas de rigor matemático. Em particular, quando dizemos que é uma soma de expressões simples não é uma soma de um número finito de parcelas, mas sim de infinitas parcelas. Com toda razão, matemáticos da época quiseram entender melhor o que Fourier fizera. Essas somas são chamadas “séries de Fourier”.

Influenciador do futuro

Mesmo antes de se ter uma teoria rigorosa das séries de Fourier, e de sua generalização para sinais mais gerais, a chamada “transformada de Fourier”, os métodos desse matemático começaram a ser aplicadas em toda sorte de problemas, desde os práticos sobre transmissão de sinais até a análise de equações abstratas que descrevem o mundo microscópico, as equações da mecânica quântica. Para se ter uma ideia da ubiquidade dessas ideias, estima-se que ¾ dos prêmios Nobel de Física foram dados a trabalhos que envolvem séries ou transformadas de Fourier.

Temos que agradecer a Fourier, portanto, pelo seu trabalho, que nos permite até hoje transmitir e processar sinais, sejam áudios por aplicativos de mensagens, produzir sons de um instrumento em um sintetizador, analisar sinais sísmicos, ou desvendar a estrutura do DNA por meio de análise de difração de raios-X. E também por filtrar sons em transmissões de televisão, como as vuvuzelas da Copa do Mundo de 2010.

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