A taxa de variação local (ou derivada) corresponde ao valor do qual a taxa de variação média se aproxima, ao tomarmos intervalos de variação arbitrariamente pequenos, isto é, o valor do qual Δy/Δx se aproxima, quando Δx tende a zero (figura 3B).

Assim, a taxa de variação local (ou instantânea) corresponde à ‘passagem ao limite’ da taxa de variação média, ou, em certo sentido, à variação de uma grandeza em relação à outra – não em um intervalo, mas em um único instante.

A questão é que, se tentarmos calcular uma taxa de variação instantânea diretamente por meio de uma conta de divisão aritmética, esbarraremos em uma divisão de zero por zero – o que não tem sentido algebricamente, pois não existe número que seja resultado dessa conta.

Mas a taxa de variação instantânea ganha sentido por meio do conceito de limite – pois, mesmo com Δy e Δx tendendo ambos a zero, é possível que a divisão entre eles se aproxime de um número.

O conceito de derivada possibilita estudar em detalhes fenômenos envolvendo variação de grandezas, determinando, com precisão, quão acentuada é a variação de uma grandeza (distância percorrida, temperatura, população etc.) em cada instante.

Quanto mais acentuada for a variação, mais inclinado será o gráfico que representa uma grandeza que depende de outra. Assim, podemos determinar quando uma grandeza cresce ou decresce, bem como quando atinge um valor máximo ou mínimo.

Por meio do que chamamos de equação diferencial, é possível, também, determinar a posição de um objeto em movimento ao longo do tempo, caso conheçamos sua posição inicial e sua velocidade ao longo do movimento.

No caso da determinação de órbitas em Estrelas além do tempo, a aplicação do conceito de derivada possibilita saber, com precisão, que alterações pontuais na trajetória e velocidade de cápsula espacial devem ser feitas para resultar na trajetória desejada, para trazer seu tripulante de volta à Terra em segurança.

Acumulação global

Já a integral tem a ver, como dissemos, com a noção de acumulação global. Caso relativamente simples: a determinação da área de um retângulo.

Uma forma de entender a área dessa figura como produto do comprimento dos lados é pensar em um deles ‘deslizando’ ao longo do outro (figura 4A). Desse modo, a área do retângulo torna-se resultado da acumulação do comprimento de um de seus lados ao longo do outro. Assim, a acumulação global de infinitos valores da grandeza ‘comprimento’ resulta em outra natureza: a área.

Sabendo determinar a área de um retângulo, podemos determinar a área de qualquer triângulo (dividindo por dois). E, com base na área de um triângulo, somos capazes de achar a área de qualquer figura delimitada por segmentos de reta, por meio de sua decomposição em triângulos.

Mas como determinar a área de figuras delimitadas por curvas e não por segmentos de reta? Por exemplo, um círculo? A área de uma figura desse tipo também pode ser entendida como uma acumulação infinita de comprimentos.

Mas, nesse caso, diferentemente do retângulo, esses comprimentos não têm necessariamente um valor constante (figura 4B). Nessa formulação, a área é entendida como acumulação global (ou integral) de comprimentos variáveis.

Modo equivalente de determinar áreas de figuras delimitadas por curvas é por meio de aproximações infinitas por figuras formadas por segmentos de reta, como retângulos ou triângulos. Por exemplo, a área de um círculo pode ser determinada por meio de aproximações infinitas por polígonos regulares inscritos ou circunscritos a ele. Nesse método, os valores das áreas dos polígonos ficam arbitrariamente próximos quando aumentamos indefinidamente o número de seus lados (figura 5).

Difícil! Será?

As alegadas dificuldades em cálculo certamente estão relacionadas com a profundidade teórica de seus conceitos fundamentais – especialmente, com o fato de esses envolverem noções de infinitos e de infinitésimos.

Mas essa afirmação é vaga e insuficiente para entendermos por que o cálculo é considerado tão difícil. Essas dificuldades não podem ser entendidas só a partir dos conceitos que integram seus currículos, de maneira abstrata, sem levar em consideração as formas como esses currículos têm sido concebidos e praticados.

Na década de 1950 e na seguinte, quando se situa Estrelas além do tempo, começou a se estabelecer um modelo de disciplina de cálculo para cursos universitários da área de exatas, desenhado com um objetivo político específico: formar, em grande escala, profissionais (especialmente, engenheiros) com perfil técnico, capazes de empregar as ferramentas do cálculo para resolver manualmente problemas aplicados não triviais, de forma rápida e precisa.

Naquela época, esse objetivo era imposto pela disputa por poderio tecnológico na Guerra Fria. A ausência das tecnologias digitais disponíveis hoje impunha, ainda, a necessidade de usar os conceitos do cálculo como ferramentas para resolver à mão problemas aplicados – o que não exige necessariamente compreensão teórica desses conceitos.

Assim, à época, o modelo de cálculo que se estabeleceu era mais focado na execução de procedimentos e no domínio de ferramentas do que na compreensão mais teórica de seus conceitos fundamentais subjacentes.

Esse modelo se consolidou e se disseminou na forma de currículos e livros, influenciando até hoje o ensino do cálculo (inclusive, no Brasil), apesar das grandes transformações sociais e tecnológicas das últimas seis décadas.

Internacionalmente, tem-se debatido a atualização dos currículos das carreiras em ciências, tecnologia, engenharias e matemática, identificadas pela sigla, em inglês, STEM (science, technology, engineering and mathematics).

Essas discussões têm enfatizado a importância de consolidar uma formação mais criativa, crítica e humana nessas áreas, levando em conta tanto a disponibilidade de recursos tecnológicos digitais quanto a necessidade de enfrentamento das questões sociais e científicas contemporâneas.

Computadores humanos?

No Brasil – ainda que essas discussões tenham se dado mais timidamente –, é importante refletirmos sobre as dificuldades, a sensação de desconexão com a realidade relatada por estudantes, bem como os altos níveis de reprovação associados a essa disciplina, à qual, não raramente, atribui-se uma imagem mítica.

A que proposito essa imagem serve? É importante refletirmos sobre até que ponto essas dificuldades estão mais relacionadas à profundidade teórica inerente aos conceitos fundamentais do cálculo do que às formas como eles têm sido abordados nos currículos.

O caráter tecnicista herdado de outros tempos tem dado ao ensino do cálculo abordagem anacrônica na formação de cientistas, professores de educação básica ou profissionais técnicos – uma abordagem desconectada das transformações sociais e tecnológicas nas últimas décadas.

O enfretamento de problemas contemporâneos – alimentados politicamente pelo negacionismo científico – demanda formação de profissionais em exatas com mais sensibilidade para o reconhecimento dos compromissos sociais da ciência.

Isso, no entanto, não implica em ‘superficialidade’ ou ‘facilitação’ do ensino do cálculo, nem desmerecimento da profundidade de seus conceitos fundamentais – essa disciplina segue essencial para o enfrentamento de problemas contemporâneos de caráter técnico-científico com apelo social, ambiental e econômico.

No Brasil, a universidade precisa olhar seriamente para o ensino de graduação, pela perspectiva política voltada a seu papel social. Isso envolve não só políticas de permanência de estudantes nos cursos de graduação, mas também posicionamentos sobre o perfil dos egressos.

Devemos nos perguntar a que propósito servem disciplinas em início de graduação que atuam como ‘filtros’ para a permanência de estudantes? Quem são os estudantes que permanecem e quem são aqueles ‘filtrados’?

Afinal, queremos formar profissionais críticos e socialmente comprometidos em ciências exatas ou continuar a produzir ‘computadores humanos’?

Para finalizar, deixo às leitoras e aos leitores frase do líder indígena, intelectual e escritor Aílton Krenak, de seu livro Ideias para adiar o fim do mundo (2019): “Há muito tempo não existe alguém que pense com a liberdade do que aprendemos a chamar de cientista”.