Problemas de contagem sempre fascinam, tanto pela simplicidade com que podem ser enunciados quanto pela engenhosidade para resolvê-los. Em particular, exigem cuidado em contar corretamente. Nesta coluna, discutimos importante ‘estratégia’ nessa arte
Problemas de contagem sempre fascinam, tanto pela simplicidade com que podem ser enunciados quanto pela engenhosidade para resolvê-los. Em particular, exigem cuidado em contar corretamente. Nesta coluna, discutimos importante ‘estratégia’ nessa arte
Problemas de contagem são fascinantes, por serem tão simples de propor e, ao mesmo tempo… potencialmente difíceis de resolver, exigindo boa dose de criatividade. Além disso, frequentemente, são apresentados na forma de historinhas, do tipo: ‘João tem cinco camisas e três calças; de quantas maneiras…’ ou ‘em uma urna, temos bolinhas azuis, brancas e verdes; de quantos modos…’, o que dá a eles uma ‘concretude’ atraente.
Todo problema de contagem exige cuidado em não deixarmos algum elemento de fora e nem contarmos um elemento mais de uma vez. Por exemplo, se, em uma turma, contamos quantos estudantes gostam de maçã e quantos não gostam dessa fruta, a soma dos dois números tem que ser o total de estudantes da turma.
Mas, se perguntarmos quantos gostam de maçã e quantos gostam de banana… Pode ser que: i) deixemos de contar algum aluno que não gosta de nenhuma das duas frutas; ii) contemos estudantes que gostam das duas frutas mais de uma vez.
O chamado princípio da inclusão e exclusão é útil nessas situações. Vejamos um exemplo. Quantos são os múltiplos de 2 ou 3 entre 1 e 100? Uma estratégia é, simplesmente, contar ‘na mão’ quantos são esses números. Mas isso pode ficar complicado rapidamente; podemos pular algum número, contar outro mais de uma vez…
Outra maneira é contar quantos são os múltiplos de 2 nesse intervalo: 2 x 1; 2 x 2; … 2 x 50, ou seja, temos 50 múltiplos de 2 entre 1 e 100. Podemos encontrar os múltiplos de 3 da mesma maneira: 3 x 1; 3 x 2; … 3 x 33. Total: 33 múltiplos.
Então, temos 50 + 33 = 83 múltiplos de 2 ou 3? Parece muito, não?
Aqui, aparece o problema da múltipla contagem: há números que são múltiplos de 2 e 3 (por exemplo, 6). Esses números foram contados duas vezes. Como corrigir essa redundância na contagem?
Pensemos assim: os múltiplos de 2 podem ser separados em dois conjuntos: {múltiplos de 2 que não são múltiplos de 3} e {múltiplos de 2 que são múltiplos de 3}. O mesmo pode ser feito para os múltiplos de 3: {múltiplos de 3 que não são múltiplos de 2} e {múltiplos de 3 que são múltiplos de 2}.
Vemos que, ao somar o número de múltiplos de 2 com o número de múltiplos de 3, o conjunto de múltiplos de 2 e 3 foi contado duas vezes. E quem são os múltiplos de 2 e 3? Justamente os… múltiplos de 6, pois, se um número é múltiplo de 2 e 3, então, é múltiplo de 2 x 3 = 6.
Entre 1 e 100, os múltiplos de 6 são 6 x 1; 6 x 2; … 6 x 16. Total: 16 números.
Portanto, o número de múltiplos de 2 ou 3 entre 1 e 100 é o seguinte: 50 (múltiplos de dois) + 33 (múltiplos de 3) – 16 (múltiplos de 2 e 3) = 67. Como, na primeira soma, incluímos os múltiplos de 2 ou 3 e na subtração excluímos os múltiplos de 2 e 3, fica explicado por que nosso princípio é chamado ‘inclusão e exclusão’.
Esse é um princípio útil que pode ser aplicado em vários problemas. O(a) leitor(a) ficou animado(a)? Que tal um desafio?
Quantos são os múltiplos de 2 ou 3 ou 5 entre 1 e 100? Dica: faça um ‘diagrama de Venn’ – aquele que usamos para representar conjuntos graficamente – para ajudar a entender quais números devem ser incluídos (somados) e excluídos (subtraídos).
Solução do desafio anterior
Usando o mesmo raciocínio que no caso de três sapos e três rãs, cada um dos M sapos terá que avançar N + 1 casas, e cada uma das N rãs terá que avançar M + 1 casas. Portanto, são M(N + 1) + N(M + 1) = 2MN + M + N avanços. Cada ‘deslizada’ é um avanço de uma casa; e cada pulo, um avanço de duas casas. Como teremos MN pulos, que correspondem a avanços de duas casas, executaremos MN pulos e M + N deslizadas, totalizando, entre pulos e deslizadas, MN + M + N movimentos.
Fundadores da revista Ciência Hoje, os físicos Alberto Passos Guimarães e Ennio Candotti e o neurocientista Roberto Lent relembram como tudo começou, destacam a importância do projeto na mobilização de cientistas pela abertura política, com textos que figuram até na Constituição
Uma poderosa ferramenta matemática é capaz de mostrar o que se conserva em um sistema físico quando ele sofre transformações. Daí sua utilidade em entender as semelhanças – aparentemente, inexistentes – entre mapas, estados da água, ímãs e até mesmo o microscópico mundo da teoria de cordas
Perfil dos frequentadores dos espaços de divulgação científica no Brasil não representa a maior parte da população e exclui parcelas com menor renda e escolaridade. Como essas instituições podem se aproximar de novos públicos para exercer, de fato, seu papel de difusão do conhecimento?
As descobertas do bioquímico brasileiro Leopoldo De Meis tiveram um papel fundamental na compreensão do mecanismo de funcionamento da enzima ATP-sintase para sintetizar o ATP, a molécula-chave nas conversões de energia nas células dos seres vivos.
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A socióloga Maria Lucia Maciel dedicou a carreira à ciência brasileira e ao seu papel no desenvolvimento do país, sendo também fundamental no conselho administrativo do Instituto Ciência Hoje, que vem, através de sua amiga pessoal e colega de profissão Sarita Albagli, prestar esta homenagem.
Paleontólogos brasileiros de destaque mundial buscam conscientizar pessoas e instituições sobre a necessidade de devolver ao Brasil fósseis relevantes, muitas vezes ‘exportados’ ilegalmente, para contribuir com o desenvolvimento da ciência nacional
Um adolescente interessado em ciência viu sua vida transformada por uma revista brasileira de divulgação científica na década de 1980. Anos depois, já cientista e professor, tornou-se colunista da publicação, atividade que, segundo ele, tem o poder de mudar vidas
Duas irmãs e duas amigas delas. Todas as quatro excelentes tenistas. Elas decidem disputar, entre elas, um torneio do tipo ‘perdeu, tá fora’. Qual a probabilidade de as duas irmãs se enfrentarem? Soa complicado. Mas a matemática está aí para simplificar as coisas
Uma intoxicação atinge amigos em um acampamento. No hospital, o médico de plantão enfrenta problema sério: como dar a cada paciente o maior número possível de doses de uma vacina (sem exceder o limite seguro), quando os três tipos de imunizante vieram sem rótulos?
Claro, Noel e seu ‘simpático’ ajudante, Gunther, apareceram. Desta vez, abriram presentes, comeram bolo e usaram – para variar – um truque ‘desleal’: apresentaram ao dono da casa um problema fácil para, depois, complicar as coisas. Mas, no fim, foi divertido
Seguimos com o joguinho popular cujo desafio é encontrar rapidamente figuras em comum entre duas cartas. Neste mês, exploraremos questões intrigantes e ainda desafiadoras para a matemática: dado certo número de figuras, quantas cartas terá nosso jogo?
Um joguinho popular – cujo desafio é encontrar rapidamente figuras em comum entre duas cartas – está baseado em conceitos ‘ocultos’ de uma área da matemática: a geometria projetiva finita, que lida basicamente com pontos e linhas que se cruzam
Uma reflexão (mental) sobre os espelhos nos revelará que esses objetos escondem ‘mistérios’ não só interessantes, mas também úteis – tanto aqui na Terra quanto no espaço. Depois de ler esta coluna, você terá outra imagem sobre essas superfícies refletoras.
Um jogo simples em que cada participante deve escolher um número dentro de certo intervalo tem uma resposta lógica (e surpreendente) se os jogadores forem matemáticos. Mas, no mundo real, a coisa é mais bem complicada, como mostram os economistas
Quatro copos sobre uma mesa giratória. Problema: deixá-los todos virados para cima ou para baixo. Trivial? Sim. Mas, agora, faça isso com os olhos vendados, e esse desafio se torna um jogo muito interessante do ponto de vista lógico. Difícil? Não se preocupe: a matemática, mais uma vez, vai te ajudar.
Máximus, o mágico, está de volta. E vem com um truque que, como sempre, deixará Vítor, seu assistente-vítima, surpreso e espantado. Desta vez, o mestre das ilusões nos apresenta uma tabela com propriedades intrigantes. Seja bem-vindo, bem-vinda, a mais um show de ‘matemágica’!
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